Resolución Final Final D (2023) Análisis Matemático 66 CBC Cátedra Gutierrez (Única)

ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Final D (2023)

Ejercicio 1:

Sean $a > 0$ y $f(x) = \frac{e^{ax} -1 }{\ln(3x+1)}$ si $x > 0$ y $f(x) = 2$ si $x \leq 0$. Entonces $f$ es continua en $x=0$ para

$\square$ $a = \frac{2}{3}$

$\square$ $a = 6$

$\square$ ningún $a$

$\square$ $a = 2$

Ejercicio 2:

El $\lim_{n \to +\infty} (4n - \sqrt{16n^2 - 24n}) = $

$\square$ $-3$

$\square$ $6$

$\square$ $-6$

$\square$ $3$

Ejercicio 3:

Sea $f(x) = 4x - x^4$. La $\text{Im}(f) =$

$\square$ $(-\infty, 3]$

$\square$ $[1,+\infty)$

$\square$ $(-\infty, 1]$

$\square$ $[3,+\infty)$

Ejercicio 4:

La recta tangente al gráfico de $f(x) = (ax+2)e^{ax}$ en el punto $(0,2)$ es $y = 6x+2$. Entonces $a =$

$\square$ $2$

$\square$ $-2$

$\square$ $-4$

$\square$ $4$

Ejercicio 5:

La cantidad de soluciones reales de la ecuación $4x + \cos^2(x) = 0$ es

$\square$ infinitas

$\square$ $1$

$\square$ $2$

$\square$ $3$

Ejercicio 6:

El $\lim_{x \to 1} \frac{e^{3x-3} - x^3}{\ln^2(x) + (x-1)^2} =$

$\square$ $-\frac{3}{4}$

$\square$ $\frac{3}{2}$

$\square$ $-\frac{3}{2}$

$\square$ $\frac{3}{4}$

Ejercicio 7:

La $f: [1,3] \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$ alcanza su máximo absoluto en $x =$

$\square$ $1$

$\square$ $\frac{3}{2}$

$\square$ $2$

$\square$ $3$

Ejercicio 8:

La función $f(x) = x - \sqrt{x+2}$ es creciente en el intervalo

$\square$ $(-2,-1)$

$\square$ $(-\frac{7}{4}, +\infty)$

$\square$ $(-1, +\infty)$

$\square$ $(-2,-\frac{7}{4})$

Ejercicio 9:

El polinomio de Taylor de orden $2$ en $x=0$ de $f(x) = 2 \cos(3x + \pi)$ es $P(x) =$

$\square$ $-1 -6x +9x^2$

$\square$ $-2 + 9x^2$

$\square$ $-2x +3x^2$

$\square$ $-2 -9x^2$

Ejercicio 10:

Sea $f$ tal que $f'(x) = 4x^3 f^2(x)$ y $f(2) = 1$, entonces $f(1) =$

$\square$ $16$

$\square$ $14$

$\square$ $\frac{1}{16}$

$\square$ $\frac{1}{14}$

Ejercicio 11:

Sea $G(x) = \int_{1}^{x^3} (3 + f(t)) \, dt$ con $f$ continua y $f(1) = 1$. Entonces $G'(1) =$

$\square$ $-12$

$\square$ $-4$

$\square$ $12$

$\square$ $24$

Ejercicio 12:

Si en $I = \int \frac{dx}{1+e^{2x}}$ se hace $t = 1 + e^{2x}$ resulta $I =$

$\square$ $\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t(t-1)}$

$\square$ $-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t(t-1)}$

$\square$ $2\int \frac{dt}{t}$

$\square$ $-2\int \frac{dt}{t}$

Ejercicio 13:

El área de la región encerrada entre el gráfico de $f(x) = (4-x^2)(e^{3x}-1)$ y el eje $x$ se obtiene calculando

$\square$ $\int_{-2}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx$

$\square$ $\int_{-2}^{2} (f(x) - x) \, dx$

$\square$ $-\int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx$

$\square$ $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx$

Ejercicio 14:

El conjunto de todos los $x \in \mathbb{R}$ donde la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x)^n}{\sqrt{n}}$ es convergente es

$\square$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

$\square$ $(-2,2)$

$\square$ $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

$\square$ $[-2,2)$

Ejercicio 15:

Si se integra por partes la integral $K = \int_{0}^{\pi} x^3 \sin(x) \, dx $ se obtiene $K = a + b \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(x) \, dx $ para...

$\square$ $a = \pi^3$ y $b = 3$

$\square$ $a = -\pi^3$ y $b = -3$

$\square$ $a = \pi^3$ y $b = -3$

$\square$ $a = -\pi^3$ y $b = 3$

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